유클리드 기하학은 논리학의 꽃이라고 불린다. 특히 유클리드가 쓴 “Element“는 반박할 수 없으며, 추가해야할 내용도 없으며, 삭제해야할 부분도 없는, 그 자체로서 완벽하다고 한다. 유클리드 기하학에는 중요한 세가지 전제조건이 있다.

바로 정의(Definition), 공리(Axiom)와 공준(Postulate)이다. 유클리드는 23개의 정의와 5개의 공리, 5개의 공준을 통하여 465개의 명제를 훌륭하게 증명하였다. 공리와 공준을 간단하게 정의 내리자면 반박할 수 없는 자명한 사실이다.

영어로는 Self-evident truth라고 한다. 기하학관련 공준은 다음과 같다. 1)한 점에서 다른 한점을 연결하는 직선은 하나뿐이다.

2)선분을 연장하여 하나의 직선을 만들 수 있다. 3)한 점을 중심으로 임의의 선분을 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. 4)모든 직각은 서로 같다. 5)두 직선이 한 직선과 만날 때 같은 쪽에 있는 두 내각의 합이 180보다 작으면 두 직선을 무한히 연장했을 때 반드시 만난다. 양과 관련된 공리는 다음과 같다. 1)같은 값과 같은 값은 서로 같다. A=B이고 B=C라면 C=A이다. 2)서로 같은 값에 같은 값을 더하면 그 합 또한 서로 같다.

5)전체는 부분보다 크다. 이러한 공리와 공준은 증명하는 것이 아니다, 이들은 그냥 받아들여하 하는 필수 전제조건임을 잊지 말자. 자 그럼 유클리드의 5번째 명제였던 “이등변 삼각형의 두 밑각은 서로 같다“를 증명하도록 하자.

이 증명을 위해 미리 필요한 증명된 앞선 4개의 명제를 적어보도록 하겠다. 이들 또한 다 정의에서 시작하여 공리와 공준을 통하여 증명된 명제들이다.

명제1) 주어진 직선 위에 하나의 이등변 삼각형을 그릴 수 있다. 명제2) 이미 알고 있는 한 점을 지나, 이미 알고 있는 선분과 같은 길이의 선분을 만들 수 있다.

명제3) 이미 알고 있는 길이가 서로 다른 두 선분은, 길이가 긴 선분에서 일부를 잘라 짧은 선분과 같게 만들 수 있다. 명제4) 합동인 삼각형의 판단 (SAS, 두 변과 사이의 끼인각의 크기가 같은 경우)과 그 성질 자 명제5를 증명하도록 하자. 이 그림은 바보의 다리(ASSESS' BRIDGE)라고도 불린다. 1. 선분 AB를 D까지 늘이고, 선분 AC는 E까지 늘린다. (공준2) 2. 선분 AD위에 점 D를 잡고, 선분 AE 위에 AE=AD가 되도록 점E를 잡는다.