올해 대입 수능 관련 상품 중 큰 주목을 받은 것이 네모 상자 모양의 ‘합격 사과’이다. 사과나무가 열매를 맺을 때 아크릴 상자를 씌워 상자 모양이 되도록 키운 이 사과는 통념을 깨는 모양 때문에 눈길을 끌었다. 이처럼 상자 모양이 되도록 조작된 사과의 원래 모양은 구(球)에 가깝다.

그런데 구(球)는 동일한 부피를 갖는 입체도형 중에서 겉넓이가 최소이기 때문에 수학적으로 큰 의미를 갖는 도형이다. 입체도형인 구(球)의 평면도형 버전인 원(圓)도 비슷한 성질을 갖는다. 동일한 둘레를 갖는 평면도형 중 넓이가 최대인 것을 구하는 문제를 ‘등주(等周)문제’라고 하는데, 답은 물론 원이다.

등주문제는 현재의 레바논 남쪽에 위치한 티레의 여왕 디도가 땅을 교환하는 문제에서 비롯되었기 때문에 디도의 문제(Dido’s problem)라고도 한다.

구는 동일한 부피를 갖는 입체도형 중에서 겉넓이가 최소다. 동일한 둘레를 갖는 평면도형 중 넓이가 최대인 것을 구하는 문제를 ‘등주문제’라 하는데, 답은 원이다. 원은 동일한 넓이를 가지는 평면 도형 중 둘레의 길이가 가장 짧은 도형이다.

표면적을 최소화하기 위해서는 같은 면적을 가지고 있으면서 둘레의 길이를 가장 작게 하기 위하여 원형 구조로 만들어져야 한다. 예를 들어, 음료수캔의 밑면이 정삼각형, 정사각형, 원모양인 세 가지 경우를 비교해보겠다. 각 도형의 넓이가 100제곱센티미터일 때, 정삼각형의 둘레는 45.6cm, 정사각형의 둘레는 40cm, 원의 둘레는 35.4cm가 된다.

밑면을 정삼각형, 정사각형, 원으로 하는 기둥의 부피는 밑면의 넓이와 높이를 곱한 것으로 세 가지 기둥에 담기는 내용물의 부피는 같다.

최소의 비용으로 최대의 효과를 내는 것이 기업의 목적이다. 그러므로 최대효과를 얻기 위해서는 매출 증가 및 원가 절감을 해야 한다. 표면적을 최소화시켜 원가를 절감 시키면 회사는 지출 비용이 줄어들어 비용대비 최대효과를 얻을 수 있다. 알루미늄 캔을 1kg 모으면 80개 정도로 700~800 원의 비용이 나온다. 캔 하나의 단가는 10원 정도이므로, 기업은 최소한의 원가를 내기 위해 겉넓이를 최소화한다.

정삼각형의 둘레는 4파이, 넓이는 3루트3분의 4파이 곱하기 파이 곱하기 파이이며, 정사각형의 둘레는 4파이, 넓이는 파이 곱하기 파이다. 원의 둘레는 4파이이며, 넓이는 2 곱하기 2곱하기 파이이다.