정규분포란? 68-95-99.7 규칙과 Z점수로 누적확률 구하는 법

통계 과목에서 가장 먼저 만나는 분포가 정규분포예요. 시험 점수, 키, 측정 오차처럼 여러 요인이 더해져 생기는 값은 종 모양으로 퍼지는 경우가 많아요. 정규분포의 성질과 표준화, 표준정규분포표 읽는 법을 예제로 차근차근 정리해 볼게요.

정규분포는 어떤 모양일까?

정규분포는 평균을 중심으로 좌우가 똑같은 종 모양 곡선을 그려요. 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 한 점에 모이며 기본 정의는 정규분포 위키에서도 정리돼 있어요.

곡선 아래 전체 넓이는 1이고, 특정 구간의 넓이가 그 구간에 값이 들어갈 확률이에요. 18세기 드무아브르가 이항분포의 근사로 처음 다뤘고, 이후 가우스가 측정 오차 연구에 활용하면서 가우스 분포라고도 불려요.

평균과 표준편차는 무엇을 바꿀까?

평균은 곡선의 중심 위치를, 흩어진 정도는 표준편차가 결정해요. 표준편차가 크면 곡선이 낮고 넓게 퍼지고, 작으면 높고 좁게 모여요.

그래서 정규분포는 평균과 표준편차 두 값만 알면 모양이 완전히 정해져요. 두 반의 평균이 같아도 표준편차가 다르면 점수 분포의 모습은 꽤 다르게 나타날 수 있어요.

서론을 쓸 때는 질문 하나를 먼저 정해 두면 방향이 훨씬 빨리 잡히더라고요. 처음 쓴 서론을 하루 뒤에 다시 읽어 보면 고칠 곳이 잘 보여서 저는 꼭 그렇게 해요.

68-95-99.7 규칙은 무엇일까?

정규분포에서는 평균에서 표준편차 1배 안에 자료의 약 68%, 2배 안에 약 95%, 3배 안에 약 99.7%가 들어가요. 이를 경험 규칙이라고 불러요.

예시로 평균 70점, 표준편차 10점인 시험이라면 대략 60점에서 80점 사이에 약 68%의 학생이 있다고 추정할 수 있어요. 이 숫자는 설명을 위해 정한 가상의 예시예요.

Z점수로는 어떻게 바꿀까?

서로 다른 정규분포를 비교하려면 값을 표준화해요. 공식은 Z=(X−μ)/σ로, 관측값에서 평균을 빼고 표준편차로 나눠요.

이렇게 바꾼 Z는 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 따라요. Z값은 그 관측값이 평균에서 표준편차 몇 배만큼 떨어져 있는지를 알려 주는 공통 단위가 돼요.

누적확률은 표에서 어떻게 읽을까?

표준정규분포표는 Z 이하일 확률, 곧 누적확률을 정리한 표예요. 행에서 Z의 정수와 소수 첫째 자리를, 열에서 소수 둘째 자리를 찾아 만나는 칸을 읽어요.

Z=2.80이라면 표에서 약 0.9974를 읽을 수 있어요. 이는 값이 평균보다 표준편차 2.8배 이하일 확률이 약 99.74%라는 뜻이고, 반대로 그보다 클 확률은 약 0.26%로 계산돼요.

이 글은 캠퍼스다운 편집부가 교과서와 1차 문헌을 비교해 다듬었어요 · 검토 2026-10-26. 참고: Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2017). Introduction to the practice of statistics (9th ed.). W. H. Freeman; Stigler, S. M. (1986). The history of statistics: The measurement of uncertainty before 1900. Belknap Press of Harvard University Press. 내 최근 시험 점수를 반 평균과 표준편차로 Z점수로 바꿔 보면 위치가 숫자 하나로 보일 거예요.